Álgebra de polinomios
Una vez que hemos estudiado los monomios, aprenderemos el álgebra de polinomios.
Un polinomio es la suma indicada de un número finito de monomios de distinto grado.
Cada uno de los monomios que integran un polinomio se llama término.
Estudiaremos los polinomio con una indeterminada, que constan de monomios de una sola indeterminada (y la misma en todos). Además todos los coeficientes del polinomio (que son los coeficientes de los monomios que lo forman) serán números reales (enteros, fraccionarios o irracionales). Un polinomio de este tipo se llama polinomio con una indeterminada, sobre R. R es el conjunto de los números reales.
Ejemplos:
P(x) = 3x4 -7x3 + 5x2 + x – 1
Q(z) = -z5 + 2z3 - z2 + 7
Son dos ejemplos de polinomios. El primero es el polinomios P de indeterminada x, que se representa por P(x) (se lee “p de x”). El segundo es el polinomio Q de indeterminada z, que se representa por Q(z) (se lee “Q de z”).
Grado de un polinomio es el de su monomio de mayor grado. Así, el grado de P(x) es 4 porque, de todos los monomios que lo forman, el monomio de mayor grado es 3x4, de grado 4. Por la misma razón, el grado de Q(z) es 5.
Los polinomios se escriben ordenados. polinomio ordenado es el que lo está según los grados de sus monomios. Normalmente se escriben en el orden decreciente de los grados.
En los ejemplos anteriores P(x) está ordenado por los grados de sus monomios desde el de grado 4 (el monomio 3x4), hasta el de grado 0 (el monomio –1 que, en realidad es –1x0, pero que teniendo en cuenta que x0 = 1, se escribe abreviadamente –1).
Un polinomio completo de grado n es el formado por n+1 monomios, desde el de grado n hasta el de grado 0.
El anterior polinomio P(x) es completo, pero Q(z) no lo es (le faltan los monomios de grado 4 y de grado 1.
Un polinomio, en general, se representa por la expresión algebraica:
P(x) = axn + bx3 + cx2 + … + px + q
Donde los números a, b, c, …, p, q son los coeficientes del polinomio
x es la indeterminada (la misma para todos los monomios), y
n es el grado del polinomio (el mayor de los grados de sus monomios).
Los puntos suspensivos indican otros monomios que no se escriben.
Valor numérico de un polinomio P(x) para x = a, es el número que resulta al sustituir x por el número a, y realizar las operaciones indicadas. El valor numérico de P(x) para x = a se representa P(a).
Ejemplo:
Hallar el valor numérico de
P(x) = x3 - 2x2 + x – 1
Para x = 2.
P(2) = 23 – 2·22 + 2 – 1 = 8 – 8 + 2 –1 = 1
Es otro polinomio que resulta al sumar los coeficientes de los monomios de igual grado.
Ejemplo:
Hallar la suma P(x) + Q(x), para los polinomios
P(x) = x3 - 2x2 + 8x – 6
Q(x) = 3x4 -7x3 + 5x2 + x – 1
Se colocan los polinomios uno debajo de otro, con los monomios del mismo grado en columna, dejando un espacio cuando falte alguno de sus monomios. Y se suman los monomios semejantes (los de igual grado).
Si hay que sumar más de dos polinomios, se colocan unos debajo de otros de forma análoga, con los monomios del mismo grado en la misma columna.
Es otro polinomio que resulta de sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.
Para restar dos polinomios le sumamos al primero el opuesto del segundo. El polinomio opuesto es el que resulta de sustituir en sus monomios, cada coeficiente por su opuesto. Por ejemplo, si un monomio es
5x2 su opuesto es -5x2 por que son opuestos sus coeficientes, 5 y –5.
Ejemplos de resta de polinomios:
Como se ve en este ejemplo, para restar dos polinomios basta con cambiar todos los signos al sustraendo, y sumar.
Se multiplica cada monomio del primero por cada monomio del segundo, colocando los términos semejantes (monomios del mismo grado) en columna. Se suman los productos obtenidos.
Ejemplo:
P(x) = –4x3 + 5x2 + x – 1
Q(x) = 3x2 – x + 6
Se colocan los polinomios uno debajo de otro y se comienza multiplicando el primer monomio de Q(x) (en rojo), por todos los monomios de P(x) (en rojo), obteniendo la primera fila de monomios para sumar (en rojo, debajo de la raya). Luego se multiplica el segundo monomio de Q(x) (en azul) por todos los de P(x) (en rojo), que da la segunda fila (en azul); el siguiente monomio multiplicador (verde) se vuelve a multiplicar por el polinomio multiplicando (rojo). Se colocan los monomios semejantes que se van obteniendo en columna, por grados. Se dejan huecos si faltan monomios de algún grado.
La división de polinomios se hace con un proceso semejante a la división de números enteros.
a) Se divide el primer monomio del dividendo (en rojo) entre el primer monomio del divisor (en rojo), obteniéndose así el primer monomio del cociente (en rojo).
b) Se multiplica el monomio obtenido en el cociente (en rojo), por todo el polinomio divisor (se obtiene la expresión en azul), y se resta al dividendo (hemos visto que para restar basta cambiar el signo y sumar).
c) Con este polinomio diferencia (en verde), se repite el proceso. Y así hasta que se obtenga un polinomio de grado menor que el dividendo. Este es el resto, y la operación termina.
Será fácil si lo vemos en una división. Dividiremos los polinomios
P(x) = 6x3 – 9x2 + 5
y
Q(x) = 2x2 + x
Es decir, hallaremos el polinomio P(x):Q(x)
Para hacer la división colocaremos a la derecha del dividendo, el divisor en la caja de dividir, y procederemos como se indicó anteriormente. Lo más fácil será ir haciendo la división y comprobar en cada paso que no hay errores. Es importante dejar los espacios que corresponden a monomios que faltan en los polinomios. Comprueba cómo el monomio 6x del penúltimo renglón, ha podido escribirse en su lugar gracias a los espacios que previamente se habían previsto en el monomio dividendo y tras la primera resta.
La operación completa es la siguiente:
Como ejercicio, se puede hacer la prueba de la división: multiplicando el divisor por el cociente y sumando el resto, debemos obtener el dividendo.
Las operaciones son estas:
Divisor: 2x2 + x
Cociente: 3x – 6
Resto: 6x + 5
Dividendo: 6x3 – 9x2 + 5